Question

【题目】已知函数，函数在点处的切线与直线平行．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的值．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）因为，则由题意知，所以，即．………1分

所以，定义域为．

．……………2分

当时，由，得函数的递增区间为，

由，得函数的递减区间为；……………4分

当时，由，得函数的递增区间为，……………5分

（2）令，则．

根据题意，当时，恒成立，

所以.……………6分

①当时，，时，恒成立，

所以在上是增函数，且，所以不符合题意. ……………7分

②当时，时，恒成立，

所以在上是增函数，且所以不符合题意. ……………9分

③当时，时，恒有，故在上是减函数，

于是“对任意都成立”的充要条件是，

即，解得，故取，……………11分

综上，．……………12分

【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数与方程、不等式解法等基础知识，意在考查

逻辑推理能力、等价转化能力、运算求解能力，以及考查函数与方程思想、分类讨论思想．