Question

8．已知函数$f（x）=\frac{x}{4}+\frac{a}{x}-lnx-\frac{3}{2}$，其中a∈R
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线$y=\frac{1}{2}x$，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在（0，6）上单调递减，（6，+∞）上单调递增，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），得到关于a的方程，解出即可；（Ⅱ）根据f′（6）=0，得到关于a的方程，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{1}{4}-\frac{a}{x^2}-\frac{1}{x}$，
由题设知：$f'（1）=-\frac{3}{4}-a=-2$，
解得：$a=\frac{5}{4}$；
（Ⅱ）由题设知，f（x）在x=6处取得极值，
则f'（6）=0，
所以$\frac{1}{4}-\frac{a}{36}-\frac{1}{6}=0$，
解得：a=3．

点评 本题考查了导数的应用以及函数的单调性问题，是一道基础题．