Question

已知函数f(x)＝ax²－ln x，x∈(0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间与极值；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）f(x)的单调增区间是，单调减区间为，极小值为＋ln 2.无极大值（2）a＝

(1)∵f(x)＝x²－ln x，f′(x)＝2x－＝，x∈(0，e]，
令f′(x)＞0，得＜x＜e，
f′(x)＜0，得0＜x＜，
∴f(x)的单调增区间是，单调减区间为.
∴f(x)的极小值为f＝－ln ＝＋ln 2.无极大值．
(2)假设存在实数a，使f(x)＝ax²－ln x，x∈(0，e]有最小值3，
f′(x)＝2ax－＝.
①当a≤0时，x∈(0，e]，所以f′(x)＜0，所以f(x)在(0，e]上单调递减，
∴f(x)_min＝f(e)＝ae²－1＝3，a＝ (舍去)．
②当a＞0时，令f′(x)＝0，得x＝ ，
(ⅰ)当0＜ ＜e，即a＞时，
f(x)在上单调递减，在上单调递增，
∴f(x)_min＝f＝－ln＝3，得a＝.
(ⅱ)当≥e，即0＜a≤时，x∈(0，e]时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(0，e]上单调递减，
∴f(x)_min＝f(e)＝ae²－1＝3，a＝(舍去)，此时f(x)无最小值．
综上，存在实数a＝，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3.