题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的极值;
(2)设,若曲线
在两个不同的点
,
处的切线互相平行,求证:
.
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)证明见解析;
【解析】
(1)求出,分类讨论
或
,判断
的正负即可求解.
(2)根据题意可得,代入导函数整理可得
,利用基本不等式证出
,从而
,令
,不妨设
,利用导数判断
的单调性,求出最小值即可证出.
解:(1),
.
(i)当时,
,则
在
上是减函数,
此时无极值.
(ii)当时,考虑二次函数
,则
.
当时,
,则
,
即对任意的恒成立,所以在
上是增函数,
此时无极值.
当时,
,
则的两根为
,
.
当时,
;当
时,
;
当时,
,所以
在
上是增函数,
在上是减函数,在
上是增函数,
所以在
处有极大值,在
处有极小值.
(2)由题意,得,
,
,
,
且.
移项整理,得.
因为,
,
,
所以,即
.
.
令,则
.
设,
则.
当时,
;当
时,
,
所以在
上是减函数,在
上是增函数,
所以是
的极小值点,也是
的最小值点,
即,
故成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目