Question

设（b，c为常数），若，且只有唯一实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）令a₁=1，a_n=f（a_n-1）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意利用待定系数法，先列出关于a，b的方程组，解方程组即可求出a，b的值，从而得出f（x）的解析式；
（2）根据（1）中求出的f（x）的解析式，分两种情况分别求解数列{a_n}的通项公式．一种情况是直接利用等比数列的通项公式求解；另一种情况是通过变形得到+1=2（+1），所以数列{+1}是等比数列，写出数列{+1}的通项公式，变形后即可得到{a_n}的通项公式．
解答：解：（1）∵（b，c为常数），若，且只有唯一实数根，
∴，
∴或，
解得b=0，c=4，或b=1，c=2
∴或
（2）当时得
a_n=f（a_n-1）=a_n-1，又a₁=1，
∴数列{a_n}是一个首项为1，公式为的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=；
当时得
a_n=f（a_n-1）=，
∴=+1，+1=2（+1），
又a₁=1，
∴数列{+1}是一个首项为2，公式为2的等比数列，
∴+1=2ⁿ，∴a_n=，
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=．
点评：此题考查学生掌握等比数列的性质并会确定一个数列为等比数列，灵活运用等比数列的通项公式，是一道综合题．