题目内容
已知数列{an}满足:a1=2,an+1=2(1+
)2•an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(An2+Bn+C)•2n(A,B,C为常数).若对一切n∈N*都有an=bn+1-bn恒成立.求A、B、C的值;
(3)求证:a1+a2+a3+
+6≥2n+2.
1 |
n |
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(An2+Bn+C)•2n(A,B,C为常数).若对一切n∈N*都有an=bn+1-bn恒成立.求A、B、C的值;
(3)求证:a1+a2+a3+
|
分析:(1)确定数列{
}是首项为2,公比为2的等比数列,由此可知数列{an}的通项公式;
(2)由题题意知若an=bn+1-bn恒成立,则An2+(4A+B)n+2A+2B+C=n2恒成立,由此能解出A=1,B=-4,C=6;
(3)利用数学归纳法进行证明.
an |
n2 |
(2)由题题意知若an=bn+1-bn恒成立,则An2+(4A+B)n+2A+2B+C=n2恒成立,由此能解出A=1,B=-4,C=6;
(3)利用数学归纳法进行证明.
解答:(1)解:∵an+1=2(1+
)2•an
∴
=2×
∵a1=2,∴数列{
}是首项为2,公比为2的等比数列,
∴an=2n•n2;
(2)解:因为bn+1-bn=[An2+(4A+B)n+2A+2B+C]•2n,
若an=bn+1-bn恒成立,则An2+(4A+B)n+2A+2B+C=n2恒成立,
所以
,解出A=1,B=-4,C=6;
(3)证明:n=1时,2+6=23,结论成立;
假设n=k时,结论成立,即a1+a2+a3+
+6≥2k+2
则n=k+1时,左边=a1+a2+a3+
+6≥2k+2+2k+1•(k+1)2>2k+2+2k+2=2k+3,即结论成立
综上,a1+a2+a3+
+6≥2n+2.
1 |
n |
∴
an+1 |
(n+1)2 |
an |
n2 |
∵a1=2,∴数列{
an |
n2 |
∴an=2n•n2;
(2)解:因为bn+1-bn=[An2+(4A+B)n+2A+2B+C]•2n,
若an=bn+1-bn恒成立,则An2+(4A+B)n+2A+2B+C=n2恒成立,
所以
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(3)证明:n=1时,2+6=23,结论成立;
假设n=k时,结论成立,即a1+a2+a3+
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则n=k+1时,左边=a1+a2+a3+
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综上,a1+a2+a3+
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点评:本题考查数列的性质和应用,考查等比数列的证明,考查不等式的证明,综合性强.
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