Question

【题目】设二次函数，其中常数.

（1）求在区间上的最小值（用表示）；

（2）解不等式；

（3）若对任意恒成立，试求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）就二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，分析二次函数在区间上的单调性，从而可得出函数在区间上的最小值；

（2）分、两种情况解不等式，即可得出各种情况下不等式的解集；

（3）由（1）中的结论，将问题转化为函数在区间上的最小值，然后解出该不等式可得出实数的取值范围.

（1）二次函数对称轴为直线，且图象开口向上.

若，即时，函数在区间上单调递增，

则；

若，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则；

若，即时，函数在区间上单调递减，

则.

因此，；

（2）.

当时，即当时，则不等式的解集为；

当时，即当或时，解不等式，即.

解得或.

此时，不等式的解集为；

（3）由题意知，函数在区间上的最小值.

由（1）知，当时，则，解得，此时；

当时，则，解得，此时；

当时，则，解得，此时.

综上所述，实数的取值范围是.