Question

【题目】已知函数．

（）当时，求曲线在点处的切线方程．

（）求的单调区间．

（）求证：当时，函数存在最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）分别求得和，由点斜式可得直线方程；

（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，由导函数的正负求单调区间即可；
（3）结合（2）得到函数f（x）在x∈[-a，+∞）上f（x）≥f（-2），而x∈（-∞，-a）时，f（x）=ex[x（x+a）+a]>0，从而求出f（x）的最小值是f（-2）；法二：根据函数的单调性求出f（x）的最小值是f（-2）即可．

试题解析：

（）当时， ， ，

∴， ，

∴曲线在点处的切线方程为： ，

即．

（）由得，

令，解得： 或，

①当，即时， ， 在上单调递增；

②当，即时，令，得或；

令，得，

∴的单调增区间是和，单调减区间是；

③当，即时，令，

得或；

令，得，

∴的单调增区间是和，

单调减区间是．

综上所述，当时，函数在上递增；

当时， 的单调增区间是和，单调减区间是；

当时， 的单调增区间是和，单调减区间是．

（）由（）得：当时，函数在上有，

且，

∵，

∴时， ， ， ，

∴时，函数存在最小值．