Question

2．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y²=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的方程为$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$．

Answer 1

分析 根据题意，点（-2，-1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，即可求出双曲线的方程．

解答 解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），
即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y²=2px的准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，则p=4，
则抛物线的焦点为（2，0）；
则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；
点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±$\frac{1}{2}$x，
由双曲线的性质，可得b=1；
则双曲线的方程为$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$．
故答案为$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$．

点评 本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）”这一条件的运用，属于中档题．