Question

对任意实数x，不等式x²+2（1+k）x+3+k＞0恒成立，则k的取值范围是

-2＜k＜1

．

Answer 1

分析：对任意实数x，不等式x²+2（1+k）x+3+k＞0恒成立，根据二次函数图象与二次不等式解的关系可知须△＜0，解此不等式即可．

解答：解：∵x²+2（1+k）x+3+k＞0对任意实数x恒成立，x²的系数1＞0
∴△=4（1+k）²-4（3+k）＜0，
解得：-2＜k＜1，
∴k的取值范围是：-2＜k＜1．
故答案为：-2＜k＜1．

点评：本题考查不等式（函数）恒成立问题．由于本题是二次不等式，故采用数形结合的思想，利用根据二次函数图象与二次不等式解的关系来解决．要掌握好“三个二次”的关系，以及其中蕴含的数形结合、转化的思想方法．