题目内容

△ABC中，
AB
•
AC
=
BA
•
BC

（1）求证：|
AC
|=|
BC
|
（2）若|
AC
+
BC
|=|
AC
-
BC
|=
6
，求|
BA
-t
BC
|的最小值及相应t值．
分析：（1）由题意可得：
AB
=
AC
-
BC
，因为
AB
(
AC
+
BC
)=0，所以(
AC
-
BC
)•(
AC
+
BC
)=0，进而得到答案．
（2）由题可得：
AC
•
BC
= 0，即∠C=90°，根据|
AC
-
BC
|=|
AB
|=
6
，可得|
AC
|=|
BC
|=
3
，并且∠B=45°，得到|
BA
-t
BC
|=
3
(t-1)2+1
，再利用二次函数的性质求出答案．
解答：解：（1）因为在△ABC中，
所以
AB
=
AC
-
BC
．
又因为△ABC中，
AB
•
AC
=
BA
•
BC
，即
AB
(
AC
+
BC
)=0，
所以(
AC
-
BC
)•(
AC
+
BC
)=0，
所以|
AC
|=|
BC
|．
（2）因为|
AC
+
BC
|=|
AC
-
BC
|，
所以
AC
•
BC
= 0，所以∠C=90°．
又因为|
AC
-
BC
|=|
AB
|=
6
，并且|
AC
|=|
BC
|，
所以|
AC
|=|
BC
|=
3
，并且∠B=45°．
所以|
BA
-t
BC
|=
|
BA
-t
BC
|2
=
3
=
(t-1)2+1
，
所以t=1时，|
BA
-t
BC
|有最小值
3
．
点评：本题考查向量的三角形法则与利用向量的数量积运算求向量的模，以及二次函数的有关性质．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，
AB
=
a
，
AC
=
b
，且
BD
=2
DC
，则
AD
等于（　　）
A、
1
3
a
+
2
3
b
B、
2
3
a
+
2
3
b
C、
2
3
a
+
1
3
b
D、
1
3
a
+
1
3
b
（2012•北京模拟）在△ABC中，
AB
=
a
，
AC
=
b
，如果|
a
|=|
b
|，那么△ABC一定是（　　）
在△ABC中，
AB
=
a
，
BC
=
b
，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求：向量
AG
．
已知向量
a
=(cosx，sinx)，  
b
=(6sinx，6cosx)，f(x)=
a
•(
b
-
a
)．
（Ⅰ）若x∈[0，
π
2
]，求函数f（x）单调递减区间和值域；
（Ⅱ）在△ABC中，
AB
=
a
，
AC
=
b
．若f（x）=2，求△ABC的面积．
在△ABC中，
AB
=a，
AC
=b，D是BC的中点，则
AD
等于（　　）
A、a-
1
2
b
B、
1
2
a+b
C、
1
2
a+
1
2
b
D、-
1
2
a+b

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