题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（I）求 $数学公式$ 的值；
（II）求f（x）的最大值和最小正周期；
（III）若 $数学公式$ ，α是第二象限的角，求sin2α．

解：（Ⅰ）f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ sin（2× $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ cos（2× $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =0；
（Ⅱ）∵f（x）=2（ $\text{[math]}$ sin2x+ $\text{[math]}$ cos2x）=2（cos $\text{[math]}$ sin2x+sin $\text{[math]}$ cos2x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）．
∴f（x）的最大值为2，最小正周期T= $\text{[math]}$ =π；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），
∴f（ $\text{[math]}$ ）=2sinα= $\text{[math]}$ ，即sinα= $\text{[math]}$ ，又α是第二象限的角，
∴cosα=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
∴sin2α=2sinαcosα=2× $\text{[math]}$ ×（- $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）将 $\text{[math]}$ 代入已知函数关系式计算即可；
（Ⅱ）利用辅助角公式将f（x）化为f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）即可求f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅲ）由f（ $\text{[math]}$ ）=2sinα= $\text{[math]}$ ，可求得sinα，α是第二象限的角，可求得cosα=，利用正弦函数的二倍角公式即可求得sin2α．
点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查同角三角函数间的基本关系，考查正弦函数的性质及应用，利用辅助角公式求得f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）是关键，属于中档题．，