Question

已知函数．
（I）求的值；
（II）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．

Answer 1

【答案】分析：（I）把x=直接代入函数的解析式，化简求得f（）的值．
（II）由cosx≠0，得 x≠kπ+，（k∈z ）．化简函数的解析式为sin（2x+），从而求得f（x）的最小正周期．再由2kπ+≤2x+≤2kπ+，x≠kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．
解答：解：（I）由函数的解析式可得
=+=0+=．…（4分）
（II）∵cosx≠0，得 x≠kπ+，（k∈z ）
故f（x）的定义域为{x|x≠kπ+，（k∈z ）}．
因为 =sinx（cosx-sinx）+=sin2x-sin²x+
=sin2x-+=sin2x+cos2x=sin（2x+），
所以f（x）的最小正周期为 T==π．
由2kπ+≤2x+≤2kπ+，x≠kπ+，k∈z，
得 kπ+≤x≤kπ+，x≠kπ+，k∈z，
所以，f（x）的单调递减区间为 （kπ+，kπ+ ），（kπ+，kπ+ ），k∈z．…（13分）
点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，属于中档题．