Question

13．设函数f（x）的定义域为R，周期为2，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，0≤x≤1}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，-1≤x＜0}\end{array}\right.$，若在区间[-1，3]上函数g（x）=f（x）-mx-m恰有四个不同零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [0，$\frac{1}{2}$]
• B． [0，$\frac{1}{4}$）
• C． （0，$\frac{1}{2}$]
• D． （0，$\frac{1}{4}$]

Answer 1

分析 根据函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可得到结论．

解答 解：由g（x）=f（x）-mx-m=0得f（x）=mx+m，
设g（x）=mx+m=m（x+1），则g（x）过定点（-1，0），
作出函数f（x）和g（x）的图象如图：
若g（x）=f（x）-mx-m有四个不同零点，
则等价为f（x）与g（x）有四个不同的交点，
由图象可知当g（x）过点（3，1）时，满足条件，
可得1=3m+m，则m=$\frac{1}{4}$，
∴在区间[-1，3]上函数g（x）=f（x）-mx-m恰有四个不同零点时，实数m的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$]
故选：D

点评 本题主要考查函数零点个数的应用，根据函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键．注意使用数形结合的数学思想．