Question

8．已知直线ax+by+c=0始终平分圆C：x²+y²-2x+4y-4=0（C为圆心）的周长，设直线l：（2a-b）x+（2b-c）y+（2c-a）=0，过点P（6，9）作l的垂线，垂足为H，则线段CH长度的取值范围是[$\sqrt{2}，9\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 确定直线过定点M（4，-5），由题意，H在以PM为直径的圆上，圆心为A（5，2），方程为（x-5）²+（y-2）²=50，即可求出线段CH长度的取值范围．

解答 解：由题意，圆心C（1，-2）在直线ax+by+c=0上，可得a-2b+c=0，即c=2b-a．
直线l：（2a-b）x+（2b-c）y+（2c-a）=0，即a（2x+y-3）+b（4-x）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-3=0}\\{4-x=0}\end{array}\right.$，可得x=4，y=-5，即直线过定点M（4，-5），
由题意，H在以PM为直径的圆上，圆心为A（5，2），方程为（x-5）²+（y-2）²=50，
∵|CA|=4$\sqrt{2}$
∴CH最小为5$\sqrt{2}-4\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，CH最大为4$\sqrt{2}+5\sqrt{2}=9\sqrt{2}$，
∴线段CH长度的取值范围是[$\sqrt{2}，9\sqrt{2}$]．
故答案为[$\sqrt{2}，9\sqrt{2}$]．

点评 本题考查直线过定点，考查线段CH长度的取值范围，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．