Question

已知F₁、F₂分别为双曲线

x2

a2

-

y2

2

=1（a＞0）的左右焦点，过F₂作垂直于x轴的直线，交双曲线与A、B两点，若△F₁AB是等边三角形，则此双曲线的渐近线方程是

y=±

2

x

．

Answer 1

分析：设A（c，y_A）（y_A＞0），代入双曲线方程得

c2

a2

-

y 2 A

2

=1，解得y_A．利用△F₁AB是等边三角形，可得|F1F2|=

3

|F2A|，又a²+2=c²，联立解得a²即可．

解答：解：设A（c，y_A）（y_A＞0），代入双曲线方程得

c2

a2

-

y 2 A

2

=1，解得yA=

2

a

．
∵△F₁AB是等边三角形，∴|F1F2|=

3

|F2A|，∴2c=

3

×

2

a

，化为ac=

3

，
又a²+2=c²，联立解得a²=1，∴此双曲线的渐近线方程是y=±

2

x．
故答案为y=±

2

x．

点评：熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、等边三角形的性质等是解题的关键．