Question

已知二次函数.
（1）若对任意、，且，都有，求证：关于的方程
有两个不相等的实数根且必有一个根属于；
（2）若关于的方程在上的根为，且，设函数的图象的对称轴方程为，求证：.

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析.

试题分析：（1）先构造新函数，利用证明方程
有两个不相等的实数根，然后利用存在定理证明方程必有一个根属于，即利用来证明；（2）将的代入方程得到的表达式，结合证明.
试题解析：（1）构造函数

，
由于函数为二次函数，所以，
对于二次函数而言，


，
若，则有且有，从而有，这与矛盾，
故，故方程有两个不相等，
由于，
，
所以，
由零点存在定理知，方程必有一个根属于；
（2）由题意知，化简得，
即，则有，，
由于，则，故，即.