Question

已知函数（为自然对数的底数），（为常数），是实数集 上的奇函数．

   （1）求证：；

   （2）讨论关于的方程：的根的个数；

   （3）设，证明：（为自然对数的底数）．

 

Answer 1

【答案】

（1）略

（2）①当即时,方程无根;

②当即时,方程只有一个根．

③当即时,方程有两个根．

（3）略

【解析】（1）证:令,

       令时

时,． ∴

∴ 即．

（2）∵是R上的奇函数 

∴  ∴

∴  ∴  故．

故讨论方程在的根的个数．

即在的根的个数．

令．

注意,方程根的个数即交点个数．

对, ,

令, 得，

当时,; 当时,．

∴，

当时,；  

当时,， 但此时

，此时以轴为渐近线。

①当即时,方程无根;

②当即时,方程只有一个根．

③当即时,方程有两个根．

（3）由（1）知,  

令,

∴,于是,

∴

．