Question

（本小题共12分）已知函数（为自然对数的底数），（为常数），是实数集 上的奇函数．（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）讨论关于的方程：的根的个数；

（Ⅲ）设，证明：（为自然对数的底数）．

Answer 1

(Ⅰ)  见解析  (Ⅱ) 见解析  （Ⅲ）见解析

解析:

（I）证:令,令时

  时,.  ∴

  ∴ 即.

  （II）∵是R上的奇函数  ∴  ∴

  ∴  ∴  故.

  故讨论方程在的根的个数.

  即在的根的个数.

  令.注意,方程根的个数即交点个数.

  对, ,

  令, 得，  当时,; 当时,.  ∴，

  当时,；   当时,， 但此时

，此时以轴为渐近线。

  ①当即时,方程无根;

②当即时,方程只有一个根.

③当即时,方程有两个根.

  （Ⅲ）由(1)知,   令,

  ∴,于是,

  ∴

   .