题目内容

已知数列{a_n}满足： $数学公式$
（1）令 $数学公式$ ，证明：数列{b_n}是等比数列；
（2）试求数列{a_n}的前n项和S_n．

解：（1）∵a_n+1=4a_n+1，
∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，即b_n+1=4b_n，
又∵ $\text{[math]}$
∴数列{b_n}是以1为首项，4为公比的等比数列．
（2）由（1）可得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）在已知式子的两边同时加上 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ，即b_n+1=4b_n 易证数列为等比数列；
（2）由（1）可得数列{b_n}的通项公式，进而可得 $\text{[math]}$ ，采用分别求和的方式可得结果．
点评：本题考查等比数列的证明，和数列的求和问题，熟练利用熟悉的知识是解决问题的关键，属中档题．

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