Question

13．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，△ABC三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC边所在直线的方程为4x+y-20=0，则抛物线方程为y²=16x．

Answer 1

分析 设抛物线的方程为y²=2px，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合直线l与抛物线相交于两个不同的点得到根的判别式大于0，结合根与系数的关系利用重心公式即可求得p值，从而解决问题．

解答 解：设抛物线的方程为y²=2px．

由$\left\{\begin{array}{l}4x+y-20=0\\{y}^{2}=2px\end{array}\right.$可得2y²+py-20p=0．
由△＞0，有p＞0，或p＜-160．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则y₁+y₂=-$\frac{p}{2}$，
∴x₁+x₂=（5-$\frac{{y}_{1}}{4}$）+（5-$\frac{{y}_{2}}{4}$）=10-$\frac{1}{4}$（y₁+y₂）=10+$\frac{p}{8}$，
设A（x₃，y₃），由△ABC的重心为F（$\frac{p}{2}$，0），则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}}{3}$=$\frac{p}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}}{3}$=0，
∴x₃=$\frac{11p}{8}$-10，y₃=$\frac{p}{2}$．
∵点A在抛物线上，
∴（$\frac{p}{2}$）²=2p（$\frac{11p}{8}$-10），
∴p=8．
∴抛物线的方程为y²=16x，
故答案为：y²=16x

点评 本题考查的知识点是抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系，重心坐标公式，难度中档．