Question

已知函数f（x）=x³+ax²+b，
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=x+1，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）内单调递减．
（1）求a的取值集合A； 
（2）对任意a∈A∩[-7，+∞）和x∈[0，4]，有f（x）＞a²恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出曲线y=f（x）的导数，利用在点（1，f（1））处的切线方程是y=x+1，即可求a，b的值；
（Ⅱ）（1）要使f（x）在（0，2）内单调递减，则f′（x）≤0在（0，2）内恒成立．即可求a的取值集合A； 
（2）（i）当-7≤a≤-6时，f（x）在[0，4]上单调递减，函数的最小值＞a²在a∈[-7，-6]上恒成立，求出b的范围；
（ii）当-6＜a≤-3时，f（x）在[0，-

2a

3

]上单调递减，[-

2a

3

，4]上单调递增．有f（x）的最小值＞a²恒成立，求实数b的取值范围．即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax，
∴

f/(1)=1 f(1)=2

，即

3+2a=1 1+a+b=2

∴

a=-1 b=2

-----------（4分）
（Ⅱ）（1）要使f（x）在（0，2）内单调递减，则f′（x）≤0在（0，2）内恒成立．
∴3x²+2ax≤0即a≤-

3

2

x在（0，2）上恒成立．
∴a≤-3即A=（-∞，-3]------------------------（7分）
（2）∵a∈A∩[-7，+∞）=[-7，-3]
（i）当-7≤a≤-6时，f（x）在[0，4]上单调递减，
∴fmin(x)=f(4)=64+16a+b＞a2在a∈[-7，-6]上恒成立，
∴b＞a²-16a-64在a∈[-7，-6]上恒成立∴b＞97------------（10分）
（ii）当-6＜a≤-3时，f（x）在[0，-

2a

3

]上单调递减，[-

2a

3

，4]上单调递增．
∴fmin(x)=f(-

2a

3

)＞a2在a∈（-6，-3]上恒成立．
即b＞-

4a3

27

+a2在a∈（-6，-3]上恒成立
记g(a)=-

4a3

27

+a2a∈（-6，-3]
则g/(a)=-

4a2

9

+2a∈(-28，-10]
即g（a）在a∈（-6，-3]上单调递减．
∴g（a）＞g（-6）=68，∴b＞68-----------------------------------（14分）
综上所述，b＞97-------------------------------------------------------（15分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性等性质，及导数应用等基础知识，同时考查分类讨论等综合解题能力．