Question

如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若＝xe₁＋ye₂(其中e₁、e₂分别为与x轴、y轴同方向的单位向量)，则P点斜坐标为(x，y)．

(1) 若P点斜坐标为(2，－2)，求P到O的距离|PO|；

(2) 求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程．

Answer 1

解：(1) ∵P点斜坐标为(2，－2)，

∴＝2e₁－2e₂.

∴||²＝(2e₁－2e₂)²＝8－8e₁·e₂＝8－8×cos60°＝4.

∴||＝2，即|OP|＝2.

(2) 设圆上动点M的斜坐标为(x，y)，则＝xe₁＋ye₂.

∴(xe₁＋ye₂)²＝1.

∴x²＋y²＋2xye₁·e₂＝1.∴x²＋y²＋xy＝1.

故所求方程为x²＋y²＋xy＝1.