Question

【题目】设数列{an}的前n和为Sn ， a1=1，Sn=nan﹣2n2+2n（n∈N*）．
（1）求证：数列{an}为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；
（2）是否存在自然数n，使得S1+ + +…+ +2n=1124？若存在，求出n的值； 若不存在，请说明理由；
（3）设cn= （n∈N*），Tn=c1+c2+c3+…+cn（n∈N*），若不等式Tn＞ （m∈Z），对n∈N*恒成立，求m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由 ，得 ，

相减得an=nan﹣（n﹣1）an﹣1﹣4n+4（n﹣1）an﹣（n﹣1）an﹣1=4（n﹣1）an﹣an﹣1=4（n≥2）．

故数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列．∴an=1+4（n﹣1）=4n﹣3．Sn= =2n2﹣n．

（2）解：由（1）可得： =2n﹣1．

∴ ，

由n2+2n=1124，得n=10，即存在满足条件的自然数n=10

（3）解： = ，

∵ ，

∴Tn＜Tn+1，即Tn单调递增，故 要使 恒成立，只需 成立，即m＜8（m∈Z）．

故符合条件m的最大值为7

【解析】（1）由 ，利用递推关系an= 可得an﹣an﹣1=4（n≥2）．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出：an ， Sn ． （2）由（1）可得： =2n﹣1．利用等差数列的求和公式即可得出．（3）利用“裂项求和方法”、数列的单调性即可得出．
【考点精析】掌握数列的前n项和和数列的通项公式是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．