Question

20．在极坐标系中，定点A（2，$\frac{π}{2}$），点B在直线ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ=0上运动，则线段AB长的最小值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 将直线ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ=0化为一般方程，再利用线段AB最短可知直线AB与已知直线垂直，设出直线AB的方程，联立方程求出B的坐标，从而求解．

解答 解∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入直线ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ=0，
可得x+$\sqrt{3}$y=0，①
∵在极坐标系中，定点A（2，$\frac{π}{2}$），
∴在直角坐标系中，定点A（0，2），
∵动点B在直线x+$\sqrt{3}$y=0上运动，
∴当线段AB最短时，直线AB垂直于直线x+$\sqrt{3}$y=0，
设直线AB为：y-2=$\sqrt{3}$x，即y=$\sqrt{3}$x+2…②，
联立方程①②求得交点B（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴|AB|=$\sqrt{（0+\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（2-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查极坐标与一般方程之间的转化，是一道基础题，注意极坐标与一般方程的关系：ρ=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，tanθ=$\frac{y}{x}$，x=ρcosθ，y=ρsinθ．