Question

已知函数的图象过点，且在内单调递减，在上单调递增.

（1）求的解析式；

（2）若对于任意的，不等式恒成立，试问这样的是否存在.若存在，请求出的范围，若不存在，说明理由

Answer 1

解： （1）∵，

由题设可知：即sinθ≥1    ∴sinθ=1.    

从而a= ,∴f(x)= x³+x²－2x+c,而又由f(1)= 得c=.

∴f(x)= x³+x²－2x+即为所求.                            

(2)由=（x+2）（x－1），易知f(x)在(－∞,－2)及(1,+∞)上均为增函数，在(－2,1)上为减函数.         

①当m＞1时，f(x)在[m,m+3]上递增,故f(x)_max=f(m+3), f(x)_min=f(m)

由f(m+3)－f(m)= (m+3)³+(m+3)²－2(m+3)－m³－m²+2m=3m²+12m+≤，

得－5≤m≤1.这与条件矛盾，故 不存在.               

② 当0≤m≤1时，f(x)在[m,1]上递增, 在[1,m+3]上递增

∴f(x)_min=f(1), f(x)_max=max{ f(m),f(m+3) },

又f(m+3)－f(m)= 3m²+12m+=3(m+2)²－＞0(0≤m≤1)∴f(x)_max= f(m+3)∴|f(x₁)－f(x₂)|≤f(x)_max－f(x)_min= f(m+3)－f(1)≤f(4)－f(1)= 恒成立. 

故当0≤m≤1时，原不等式恒成立.综上，存在m且m∈[0,1]合题意.