Question

1．在等比数列{a_n}中，a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=8，且$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$+$\frac{1}{{a}_{5}}$=2，求a₃．

Answer 1

分析 由题意可得a₃（$\frac{1}{{q}^{2}}$+$\frac{1}{q}$+1+q+q²）=8，$\frac{1}{{a}_{3}}$（q²+q+1+$\frac{1}{q}$+$\frac{1}{{q}^{2}}$）=2，两式相除可得a₃的方程，解方程可得．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，则等比数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的公比为$\frac{1}{q}$，
由题意可得a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=a₃（$\frac{1}{{q}^{2}}$+$\frac{1}{q}$+1+q+q²）=8，①
$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$+$\frac{1}{{a}_{5}}$=$\frac{1}{{a}_{3}}$（q²+q+1+$\frac{1}{q}$+$\frac{1}{{q}^{2}}$）=2，②
$\frac{①}{②}$可得${{a}_{3}}^{2}$=4，解得a₃=2，或a₃=-2

点评 本题考查等比数列数列的通项公式，属基础题．