Question

3．已知x，y∈R，函数f（x）满足f（x+y²）=f（x）+2f²（y），f（1）≠0，则f（2）=1．

Answer 1

分析 取x=y=0，求得f（0）=0，取x=0，y=1可求f（1）=$\frac{1}{2}$，再取x=n，y=1，代入整理得$f（n）=\frac{n}{2}$，由此能求出结果．

解答 解：∵x，y∈R，函数f（x）满足f（x+y²）=f（x）+2f²（y），f（1）≠0，
∴取x=y=0，得f（0）=0，
  取x=0，y=1，得f（1）=f（0）+2[f（1）]²，即f（1）=2[f（1）]²．
∵f（1）≠0，
∴f（1）=$\frac{1}{2}$．
  取x=n，y=1，得f（n+1）=f（n）+2[f（1）]2=f（n）+$\frac{1}{2}$．
  即f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{2}$，
∴f（n）=$\frac{n}{2}$，
∴f（2）=$\frac{2}{2}$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查函数的求值，解决的方法是特值法，体现合理转化的思想，是中档题．