题目内容
13．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本G（x）万元．当年产量不足80千件时，$G（x）=\frac{1}{3}{x^2}+10x$（万元）；当年产量不小于80千件时，$G（x）=51x+\frac{10000}{x}-1450$（万元）．已知每千件商品售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．记该厂在这一商品的生产中所获年利润为y（万元）．（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）求年利润y（万元）的最大值及相应的年产量x（千件）．
分析 （1）讨论当0＜x＜80时，y=50x-250-G（x）=-$\frac{1}{3}$x2+40x-250；当x≥80时，y=50x-250-G（x）=1200-x-$\frac{10000}{x}$．即可得到所求分段函数解析式；
（2）分别运用二次函数的最值的求法和基本不等式，即可得到所求函数的最大值．
解答 解：（1）当0＜x＜80时，y=50x-250-G（x）=-$\frac{1}{3}$x2+40x-250；
当x≥80时，y=50x-250-G（x）=1200-x-$\frac{10000}{x}$．
即有y关于x的函数关系式为$y=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{3}{x^2}+40x-250，0＜x＜80\\ 1200-x-\frac{10000}{x}，x≥80.\end{array}\right.$；
（2）若0＜x＜80，则$y=-\frac{1}{3}{（{x-60}）^2}+950$，
x=60时，ymax=950（万元）；
若x≥80，则$y=1200-（{x+\frac{10000}{x}}）$$≤1200-2\sqrt{x•\frac{10000}{x}}=1000$，
当且仅当$x=\frac{10000}{x}，即x=100$时取等号．
综上，当年产量为100千件时，该厂所获年利润最大，最大值是1000万元．
点评 本题考查函数模型的应用题的解法，主要考查分段函数的解析式和最值的求法，注意运用二次函数和基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题．
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