题目内容

已知函数f（x）=sin2x-2cos2x（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并写出对称轴方程．
分析：（1）三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为
2
sin(2x-
π
4
)-1，由此求得函数的周期．
（2）由2kπ-
π
2
≤2x-
π
4
≤2kπ+
π
2
，求得x的范围，即可求得f（x）的单调递增区间．由2x-
π
4
=kπ+
π
2
，求得对称轴方程．
解答：解：（1）f（x）=sin2x-2cos2=sin2x-cos2x-1，--------（2分）
则f(x)=
2
sin(2x-
π
4
)-1，----------（4分）
所以，函数f（x）的最小正周期为π．------（6分）
（2）由2kπ-
π
2
≤2x-
π
4
≤2kπ+
π
2
，得kπ-
π
8
≤x≤kπ+
3π
8
．------（8分）
所以，函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-
π
8
，kπ+
3π
8
] (k∈Z)．-------（9分）
从2x-
π
4
=kπ+
π
2
，得x=
kπ
2
+
3π
8
，--------（11分）
故对称轴方程为：x=
kπ
2
+
3π
8
(k∈Z)．--------（12分）
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的对称性、周期性和求法，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=ax+bsinx，当x=
π
3
时，取得极小值
π
3
-
3
．
（1）求a，b的值；
（2）对任意x1，x2∈[-
π
3
，
π
3
]，不等式f（x1）-f（x2）≤m恒成立，试求实数m的取值范围；
（3）设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x），若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有g（x）≥F（x），则称直线l与曲线S的“上夹线”．观察下图：

根据上图，试推测曲线S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程，并作适当的说明．
已知函数f（x）=x2-blnx在（1，2]是增函数，g（x）=x-b
x
在（0，1）为减函数．
（1）求b的值；
（2）设函数φ（x）=2ax-
1
x2
是区间（0，1]上的增函数，且对于（0，1]内的任意两个变量s、t，f（s）≥?（t）恒成立，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=cos（ 2x+
π
3
）+sin2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足2
AC
•
CB
=
2
ab，c=2
2
，f（A）=
1
2
-
3
4
，求△ABC的面积S．
（1）已知矩阵A=
a2
1b
有一个属于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
，
①求矩阵A；
②已知矩阵B=
1-1
01
，点O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O'M'N'的面积．
（2）已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
x=t-3
y=
3
 t
（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρco sθ+3=0．
①求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；
②设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的取值范围．
（3）已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若关于x的不等式f（x）≥a2-a在R上恒成立，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=
a
2x
+xlnx，g（x）=x3-x2-x-1．
（1）如果存在x，x∈[0，2]，使得g（x）-g（x）≥M，求满足该不等式的最大整数M；
（2）如果对任意的s，t∈[
1
3
，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

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