Question

已知A，B两点在抛物线C：x²＝4y上，点M(0,4)满足＝λ.
(1)求证：；
(2)设抛物线C过A、B两点的切线交于点N.
(ⅰ)求证：点N在一条定直线上；    
(ⅱ)设4≤λ≤9，求直线MN在x轴上截距的取值范围．

Answer 1

(1)证明：∵＝0，∴.
(2)(ⅰ)点N(，－4)，所以点N在定直线y＝－4上． (ⅱ) [－，－]∪[，]．

试题分析：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
l_AB：y＝kx＋4与x²＝4y联立得x²－4kx－16＝0，        
Δ＝(－4k)²－4(－16)＝16k²＋64>0，
x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－16，                             2分
(1)证明：∵＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋(kx₁＋4)(kx₂＋4)
＝(1＋k²)x₁x₂＋4k(x₁＋x₂)＋16
＝(1＋k²)(－16)＋4k(4k)＋16＝0
∴.                                          4分
(2)(ⅰ)证明：过点A的切线：
y＝x₁(x－x₁)＋y₁＝x₁x－x₁²，　　①
过点B的切线：y＝x₂x－x₂²，　　②                          6分
联立①②得点N(，－4)，所以点N在定直线y＝－4上．     8分
(ⅱ)∵＝λ，
∴(x₁，y₁－4)＝λ(－x_2,4－y₂)，
联立x₁＝－λx₂，x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－16，
可得k²＝＝λ＋－2,4≤λ≤9，                 11分
∴≤k²≤.
直线MN：y＝x＋4在x轴上的截距为k.
∴直线MN在x轴上截距的取值范围是[－，－]∪[，]．       14分
点评：熟练掌握向量的坐标运算，灵活运用直线的特征是解决此类问题的关键，属常考题型