Question

（本小题14分） 已知函数，若
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上有两个零点，求实数b的取值范围；
（3）当

Answer 1

（1）；（2）（1，] ；（3）证明详见解析.

试题分析：（1）先求导数，再求切线的斜率，由点斜式可得切线方程；（2）先求 ，然后确定函数
g(x)的单调区间，找到满足函数在区间上有两个零点d的条件，解之即可；（3）欲证原不等式可转化为证，在构造函数，由函数h(x)的单调性可证的<0，即可得证.
试题解析：(1)因为，
所以曲线在点处的切线方程为
（2）=，(x>0)
=，由>0得x>1, 由<0得0<x<1.
所以的单调递增区间是（1，+）,单调递减区间（0, 1）
x=1时，取得极小值.
因为函数在区间 上有两个零点，所以 ，解得，
所以b的取值范围是（1，
（3）当
即证：
即证：
构造函数：
当时，
所以，
又，所以
即
所以