Question

各项均为正数的数列{a_n}中，前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，知S_n-1=，n≥2，由此得-（）²，n≥2，从则能够求出a_n=2n-1．
（2）由题意得k＞（++…+）_max，由==，由此利用裂项求和法能够证明k．
解答：解：（1）∵，∴S_n-1=，n≥2，
两式相减，得-（）²，n≥2，
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴=2，n≥2，
∴{a_n}是公差为2的等差数列，
又∵S₁=（）²，得a₁=1，
∴a_n=2n-1．
（2）由题意得k＞（++…+）_max，
∵==，
∴+…+
=
=，
∴k．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式恒成立时实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．