题目内容

若f（x）对一切实数x都有f（x+8）=-f（-2-x），且x＞3时，f（x）=x²-7x+4．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）若 $数学公式$ ，当x＜3时，求h（x）的单调递增区间．

解：（1）f（x+8）=-f（-2-x），∴以x+8代x可得f（x）=-f（6-x），
当x=3时，f（3）=-f（3），∴f（3）=0
当x＜3时，6-x＞3，∴f（x）=-f（6-x）=-[（6-x）²-7（6-x）+4]=-x²+5x+2，
综上： $\text{[math]}$
（2）当x＜3时， $\text{[math]}$ ，
求导函数可得h′（x）= $\text{[math]}$ ，定义域为（0，3）
当a＜0时，h′（x）＞0恒成立，
当 $\text{[math]}$ 时，由h′（x）＞0得0＜x＜2a；当 $\text{[math]}$ 时，x∈（0，3），恒有h′（x）＞0
综上：当a＜0或 $\text{[math]}$ 时，h（x）的增区间为（0，3）；当 $\text{[math]}$ 时，h（x）的增区间为（0，2a）．
分析：（1）根据f（x+8）=-f（-2-x），可得f（x）=-f（6-x），当x=3时，f（3）=0，当x＜3时，6-x＞3，f（x）=-f（6-x）=-[（6-x）²-7（6-x）+4]=-x²+5x+2，从而可得函数的解析式；
（2）当x＜3时， $\text{[math]}$ ，求导函数可得h′（x）= $\text{[math]}$ ，定义域为（0，3），利用导数的正负可得结论．
点评：本题考查了函数的定义、性质、导数法求单调区间以及分类讨论的思想．