Question

已知f（x）=3sin（2x-

π

6

），若存在α∈（0，π），使f（α+x）=f（α-x）对一切实数x恒成立，则α=

 

．

Answer 1

分析：依题意，f（x）=3sin（2x-

π

6

），且f（α+x）=f（α-x）⇒y=f（x）关于x=α对称，利用正弦函数的对称性及α∈（0，π）即可求得α的值．

解答：解：∵f（x）=3sin（2x-

π

6

），且f（α+x）=f（α-x），
∴y=f（x）关于直线x=α对称，
由正弦函数的对称性得：2α-

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z），
∴α=

kπ

2

+

π

3

（k∈Z），
又α∈（0，π），
∴k=0时，α=

π

3

；
k=1时，α=

π

2

+

π

3

=

5π

6

．
故答案为：

π

3

，

5π

6

．

点评：本题考查正弦函数的对称性，f（α+x）=f（α-x）⇒y=f（x）关于x=α对称是关键，考查函数恒成立问题，属于中档题．