Question

若f（x）对一切实数x都有f（x+8）=-f（-2-x），且x＞3时，f（x）=x²-7x+4．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）若φ(x)=2lnx-x2+(5-

1

a

)x，h(x)=φ(x)-f(x)，当x＜3时，求h（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）根据f（x+8）=-f（-2-x），可得f（x）=-f（6-x），当x=3时，f（3）=0，当x＜3时，6-x＞3，f（x）=-f（6-x）=-[（6-x）²-7（6-x）+4]=-x²+5x+2，从而可得函数的解析式；
（2）当x＜3时，h(x)=2lnx-x2+(5-

1

a

)x+x2-5x-2=2lnx-

1

a

x-2，求导函数可得h′（x）=

2

x

-

1

a

=

2a-x

ax

(a≠0)，定义域为（0，3），利用导数的正负可得结论．

解答：解：（1）f（x+8）=-f（-2-x），∴以x+8代x可得f（x）=-f（6-x），
当x=3时，f（3）=-f（3），∴f（3）=0
当x＜3时，6-x＞3，∴f（x）=-f（6-x）=-[（6-x）²-7（6-x）+4]=-x²+5x+2，
综上：f(x)=

x2-7x+4，x＞3 0，            x=3 -x2+5x+2，x＜3

（2）当x＜3时，h(x)=2lnx-x2+(5-

1

a

)x+x2-5x-2=2lnx-

1

a

x-2，
求导函数可得h′（x）=

2

x

-

1

a

=

2a-x

ax

(a≠0)，定义域为（0，3）
当a＜0时，h′（x）＞0恒成立，
当0＜a≤

3

2

时，由h′（x）＞0得0＜x＜2a；当a＞

3

2

时，x∈（0，3），恒有h′（x）＞0
综上：当a＜0或a＞

3

2

时，h（x）的增区间为（0，3）；当0＜a≤

3

2

时，h（x）的增区间为（0，2a）．

点评：本题考查了函数的定义、性质、导数法求单调区间以及分类讨论的思想．