题目内容
已知椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知一直线l过椭圆C的右焦点F2，交椭圆于点A、B．
（ⅰ）若满足
| OA |
| OB |
| 2 |
| tan∠AOB |
（ⅱ）当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角？若存在，求出P坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（Ⅰ）由焦点坐标得出c=1，结合离心率得出a=
，求出b 值，最后写出椭圆C的方程即可；
（II）（i）由题中条件：“
•
=
”结合向量的数量积，代入三角形面积公式求得答案．
（ii）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角，再利用方程的思想，求出m的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
| 3 |
（II）（i）由题中条件：“
| OA |
| OB |
| 2 |
| tan∠AOB |
（ii）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角，再利用方程的思想，求出m的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
解答：解：（Ⅰ）c=1，又e=
=
，∴a=
∴b2=a2-c2=3-1=2
所以，椭圆C的方程是
+
=1
（Ⅱ）（ⅰ）∵
•
=
，∴|
|•|
|•cos∠AOB=
，
∴|
|•|
|•sin∠AOB=2，∴S△AOB=
•|
|•|
|•sin∠AOB=
×2=1．
（ⅱ）假设存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角，
依题意可知直线l、PA、PB斜率存在且不为零．
不妨设P（m，0），直线l的方程为y=k（x-1），k≠0
由
消去y得（3k2+2）x2-6k2x+3k2-6=0
设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=
，x1•x2=
∵直线PA、PB的倾斜角互为补角，
∴kPA+kPB=0对一切k恒成立，即
+
=0对一切k恒成立
又y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
代入上式可得2x1x2+2m-（m+1）（x1+x2）=0对一切k恒成立
∴2×
+2m-(m+1)×
=0对一切k恒成立，
即2m-6=0，∴m=3，
∴存在P（3，0）使得直线PA、PB的倾斜角互为补角．
| c |
| a |
| ||
| 3 |
| 3 |
∴b2=a2-c2=3-1=2
所以，椭圆C的方程是
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| 2 |
（Ⅱ）（ⅰ）∵
| OA |
| OB |
| 2 |
| tan∠AOB |
| OA |
| OB |
| 2 |
| tan∠AOB |
∴|
| OA |
| OB |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| OB |
| 1 |
| 2 |
（ⅱ）假设存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角，
依题意可知直线l、PA、PB斜率存在且不为零．
不妨设P（m，0），直线l的方程为y=k（x-1），k≠0
由
|
设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=
| 6k2 |
| 3k2+2 |
| 3k2-6 |
| 3k2+2 |
∵直线PA、PB的倾斜角互为补角，
∴kPA+kPB=0对一切k恒成立，即
| y1 |
| x1-m |
| y2 |
| x2-m |
又y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
代入上式可得2x1x2+2m-（m+1）（x1+x2）=0对一切k恒成立
∴2×
| 3k2-6 |
| 3k2+2 |
| 6k2 |
| 3k2+2 |
即2m-6=0，∴m=3，
∴存在P（3，0）使得直线PA、PB的倾斜角互为补角．
点评：本小题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力；注意（Ⅲ）的处理存在性问题的一般方法，首先假设存在，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．
练习册系列答案
相关题目