(2008•海珠区一模)已知抛物线D的顶点是椭圆x24+y23=1的中心.焦点与该椭圆的右焦点重合．(1)求抛物线D的方程,(2)已知动直线l过点P(4.0).交抛物线D于A.B两点.坐标原点O为PQ中点.求证:∠AQP=∠BQP,(3)是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆所截得的弦长恒为定值?如果存在.求出m的方程,如果不存在.说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2008•海珠区一模）已知抛物线D的顶点是椭圆

=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
（1）求抛物线D的方程；
（2）已知动直线l过点P（4，0），交抛物线D于A、B两点，坐标原点O为PQ中点，求证：∠AQP=∠BQP；
（3）是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．

分析：（1）由题意，设抛物线方程为y²=2px（p＞0）．由a²-b²=4-3=1，得c=1．由此能求出抛物线D的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于O为PQ之中点，故当l⊥x轴时由抛物线的对称性知∠AQP=∠BQP，当l不垂直x轴时，设l：y=k（x-4），由

y=k(x-4)

y2=4x

，得k²x²-4（2k²+1）x+16k²=0，由此能够证明∠AQP=∠BQp．
（3）设存在直线m+x=a满足题意，则圆心M(

x1+4

，

)，过M作直线x=a的垂线，垂足为E，故|EG|²=|MG|²-|ME|²，由此能够导出存在直线m：x=3满足题意．

解答：（本小题满分14分）
（1）解：由题意，可设抛物线方程为y²=2px（p＞0）．
由a²-b²=4-3=1，得c=1．
∴抛物线的焦点为（1，0），∴p=2．
∴抛物线D的方程为y²=4x．…（4分）
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由于O为PQ之中点，故当l⊥x轴时，由抛物线的对称性知，一定有∠AQP=∠BQP，
当l不垂直x轴时，设l：y=k（x-4），
由

y=k(x-4)

y2=4x

，得k²x²-4（2k²+1）x+16k²=0，
∴

x1+x2=

4(2k2+1)

x1x2=16

，
∵kAQ=

x1+4

k(x1-4)

x1+4

，
kBQ=

x2+4