Question

设椭圆的一个焦点为F，点P在y轴上，直线PF交椭圆于M、N，，则实数λ₁+λ₂=

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x-c）．将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（b²+a²k²）x²-2a²ck²x+a²c²k²-a²b²=0．然后利用向量关系及根与系数的关系，可求得λ₁+λ₂的值．
解答：设M，N，P点的坐标分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（0，y₀），
又不妨设F点的坐标为（c，0）．
显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程是y=k（x-c）．
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（b²+a²k²）x²-2a²ck²x+a²c²k²-a²b²=0．
∴，．
又∵，
将各点坐标代入得 ，
=．
故选C．
点评：本题以向量为载体，考查直线与椭圆的位置关系，是椭圆性质的综合应用题，解题时要注意公式的合理选取和灵活运用．