题目内容
设椭圆
+
=1(a＞b＞0)的一个焦点为F，点P在y轴上，直线PF交椭圆于M、N，
=λ1
，
=λ2
，则实数λ1+λ2=（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| PM |
| MF |
| PN |
| NF |
分析：设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x-c）．将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（b2+a2k2）x2-2a2ck2x+a2c2k2-a2b2=0．然后利用向量关系及根与系数的关系，可求得λ1+λ2的值．
解答：解：设M，N，P点的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），P（0，y0），
又不妨设F点的坐标为（c，0）．
显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程是y=k（x-c）．
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（b2+a2k2）x2-2a2ck2x+a2c2k2-a2b2=0．
∴x1+x2=
，x1x2=
．
又∵
=λ1
，
=λ2
，
将各点坐标代入得 λ1=
，λ2=
λ1+λ2=
+
=
=-
．
故选C．
又不妨设F点的坐标为（c，0）．
显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程是y=k（x-c）．
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（b2+a2k2）x2-2a2ck2x+a2c2k2-a2b2=0．
∴x1+x2=
| 2a2ck2 |
| b2+a2k2 |
| -a2b2 |
| b2+a2k2 |
又∵
| PM |
| MF |
| PN |
| NF |
将各点坐标代入得 λ1=
| x1 |
| 2-x1 |
| x2 |
| 2-x2 |
λ1+λ2=
| x1 |
| 2-x 1 |
| x2 |
| 2-x2 |
| 2(x1+x2)-2x1x2 |
| 4-2(x1+x2)+x1x2 |
| 2a2 |
| b2 |
故选C．
点评：本题以向量为载体，考查直线与椭圆的位置关系，是椭圆性质的综合应用题，解题时要注意公式的合理选取和灵活运用．
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+
=1(a＞b＞0)上的动点Q，过动点Q作椭圆的切线l，过右焦点作l的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| A、x2+y2=a2 |
| B、x2+y2=b2 |
| C、x2+y2=c2 |
| D、x2+y2=e2 |