题目内容

对任意函数f（x），x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x∈D，经按列发生器，其工作原理如图：
②若x1∈D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f（x1），并依此规律继续下去，现定义．
（Ⅰ）若输入，则由数列发生器产生数列{xn}．请写出数列{xn}的所有项：
（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据x的值；
（Ⅲ）若输入x时，产生的无穷数列{xn}满足；对任意正整数n，均有xn＞xn+1，求x的取值范围．

【答案】分析：（1）确定f（x）的定义域，可得数列{xn}只有三项；
（2）由，可得结论；
（3）解不等式，得x＜-1或1＜x＜2，要使x1＜x2，则x1＜-1或1＜x1＜2，从而可求x的取值范围．
解答：解：（1）∵f（x）的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），
∴数列{xn}只有三项：．…（3分）
（2）∵，即x2-3x+2=0，
∴x=1，或x=2．
即当x=1或2时，．
故当x=1时，xn=1；当x=2时，xn=2（n∈N）．…（9分）
（3）解不等式，得x＜-1或1＜x＜2．
要使，x1＜x2，则x1＜-1或1＜x1＜2．…（12分）
对于函数，
若x1＜-1，则x2=f（x1）＞4，x3=f（x2）＜x2．…（15分）
当1＜x1＜2时，x2=f（x），且1＜x2＜2，
依此类推，可得数列{xn}的所有项均满足xn+1＞xn（n∈N）．
综上所述，x1∈（1，2）．
由x1=f（x），得x∈（1，2）．…（18分）
点评：本题考查数列与函数的综合，考查新定义，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
对任意函数f（x），x∈D，可按图构造一个数列发生器．记由数列发生器产生数列{xn}．
（Ⅰ）若定义函数f(x)=
4x-2
x+1
，且输入x0=
49
65
，请写出数列{xn}的所有项；
（Ⅱ）若定义函数f（x）=2x+3，且输入x0=-1，求数列{xn}的通项公式xn．
（Ⅲ）若定义函数f（x）=xsinx（0≤x≤2π），且要产生一个无穷的常数列{xn}，试求输入的初始数据x0的值及相应数列{xn}的通项公式xn．
对任意函数f（x），x∈D，可按如图构造一个数列发生器，记由数列发生器产生数列{xn}．
（1）若定义函数f(x)=
4x-2
x+1
，且输入x0=
49
65
，请写出数列{xn}的所有项；
（2）若定义函数f（x）=xsinx（0≤x≤2π），且要产生一个无穷的常数列{xn}，试求输入的初始数据x0的值及相应数列{xn}的通项公式xn；
（3）若定义函数f（x）=2x+3，且输入x0=-1，求数列{xn}的通项公式xn．
对任意函数f（x），x∈D，可按图示构造一个数列发生
器，工作原理如下：
（1）输入x0∈D，则可输出x1=f（x0）（2）若x0∉D，则结束，否则计算x2=f（x1）．
现定义 f(x)=
4x-2
x+1
．
①若输入x0=
49
65
，写出{xn}；
②若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的x0．
（2001•上海）对任意函数f（x），x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x0∈D，经按列发生器，其工作原理如图：
②若x1∈D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f（x1），并依此规律继续下去，现定义f(x)=
4x-2
x+1
．
（Ⅰ）若输入x0=
49
65
，则由数列发生器产生数列{xn}．请写出数列{xn}的所有项：
（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据x0的值；
（Ⅲ）若输入x0时，产生的无穷数列{xn}满足；对任意正整数n，均有xn＞xn+1，求x0的取值范围．
命题“对任意函数f（x），[f（x）]2+[f′（x）]2≠1”的否定是（　　）

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