Question

（2001•上海）对任意函数f（x），x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x₀∈D，经按列发生器，其工作原理如图：
②若x₁∈D，则数列发生器结束工作；若x₁∈D，则将x₁反馈回输入端，再输出x₂=f（x₁），并依此规律继续下去，现定义f(x)=

4x-2

x+1

．
（Ⅰ）若输入x0=

49

65

，则由数列发生器产生数列{x_n}．请写出数列{x_n}的所有项：
（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据x₀的值；
（Ⅲ）若输入x₀时，产生的无穷数列{x_n}满足；对任意正整数n，均有x_n＞x_n+1，求x₀的取值范围．

Answer 1

分析：（1）确定f（x）的定义域，可得数列{x_n}只有三项；
（2）由f(x)=

4x-2

x+1

=x，可得结论；
（3）解不等式x＜

4x-2

x+1

，得x＜-1或1＜x＜2，要使x₁＜x₂，则x₁＜-1或1＜x₁＜2，从而可求x₀的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），
∴数列{x_n}只有三项：x1=

11

19

，x2=

1

5

，x3=-1．…（3分）
（2）∵f(x)=

4x-2

x+1

=x，即x²-3x+2=0，
∴x=1，或x=2．
即当x₀=1或2时，xn+1=

4xn-2

xn+1

=xn．
故当x₀=1时，x_n=1；当x₀=2时，x_n=2（n∈N）．…（9分）
（3）解不等式x＜

4x-2

x+1

，得x＜-1或1＜x＜2．
要使，x₁＜x₂，则x₁＜-1或1＜x₁＜2．…（12分）
对于函数f(x)=

4x-2

x+1

=4-

6

x+1

，
若x₁＜-1，则x₂=f（x₁）＞4，x₃=f（x₂）＜x₂．…（15分）
当1＜x₁＜2时，x₂=f（x），且1＜x₂＜2，
依此类推，可得数列{x_n}的所有项均满足x_n+1＞x_n（n∈N）．
综上所述，x₁∈（1，2）．
由x₁=f（x₀），得x₀∈（1，2）．…（18分）

点评：本题考查数列与函数的综合，考查新定义，考查学生的计算能力，属于中档题．