Question

【题目】已知，.

（1）当时，证明：；

（2）设直线是函数在点处的切线，若直线也与相切，求正整数的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）令，求导，可知单调递增，且，，因而在上存在零点，在此取得最小值，再证最小值大于零即可.

（2）根据题意得到在点处的切线的方程①，再设直线与相切于点， 有，即，再求得在点处的切线直线的方程为 ②由①②可得，即，根据，转化为，，令，转化为要使得在上存在零点，则只需，求解.

（1）证明：设，

则，单调递增，且，，

因而在上存在零点，且在上单调递减，在上单调递增，

从而的最小值为.

所以，即.

（2），故，

故切线的方程为①

设直线与相切于点，注意到，

从而切线斜率为，

因此，

而，从而直线的方程也为 ②

由①②可知，

故，

由为正整数可知，，

所以，，

令，

则，

当时，为单调递增函数，且，从而在上无零点；

当时，要使得在上存在零点，则只需，，

因为为单调递增函数，，

所以；

因为为单调递增函数，且，

因此；

因为为整数，且，

所以.