Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若函数有两个极值点，，且，为的导函数，设，求的取值范围，并求取到最小值时所对应的的值.

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）的取值范围是；对应的的值为.

【解析】

（1）当时，求的导数可得函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，，且，利用导函数，可得的范围，再表达，构造新函数可求的取值范围，从而可求取到最小值时所对应的的值．

（1）函数

由条件得函数的定义域：，

当时，，

所以：，

时，，

当时，，当，时，，

则函数的单调增区间为：，单调递减区间为：，；

（2）由条件得：，，

由条件得有两根：，，满足，

△，可得：或；

由，可得：．

，

函数的对称轴为，，

所以：，；

，可得：，

，

，则：，

所以：；

所以：，

令，，，

则，

因为：时，，所以：在，上是单调递减，在，上单调递增，

因为：，（1），，（1），

所以，；

即的取值范围是：，；

，所以有，

则，；

所以当取到最小值时所对应的的值为；