Question

在数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线y=2x上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n，求数列

1

bn×bn+1

的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得a_n+1=2a_n，所以

an+1

an

=2  又a₁=2，
所以数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，（3分）
所以an=2n．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an=2n
所以b_n=log₂a_n=n （7分）
所以

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，（10分）
所以Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．（13分）