Question

某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产一台，需要增加可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台．销售的收入函数为（万元），其中是产品售出的数量（单位：百台）．
（１）  把利润表示为年产量的函数；
（２）  年产量是多少时，工厂所得利润最大？
（３）  年产量是多少时，工厂才不亏本？

Answer 1

（1）
（2）当时，有最大值万元；
（3）当年产量满足，时，工厂不亏本

（１）利润

（２）若，则
，
所以，当时，有最大值万元；
若，则是减函数，所以，当时，有最大值万元．
综上可得，年产量为500台时，工厂所得利润最大．
（３）当时，由，
即，解得，；
当时，，即，
解得．
综上可得，当年产量满足，时，工厂不亏本．