Question

【题目】如图，四棱锥中，底面为平行四边形， ， 是棱PD的中点，且， ．

（I）求证： ； （Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）若是上一点，且直线与平面成角的正弦值为，求的值．

Answer 1

【答案】（I）见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）1．

【解析】试题分析：（1），，所以平面PAC；（2）建立空间直角坐标系，求出两个法向量，平面MAB的法向量，是平面ABC的一个法向量，求出二面角；（3）设，平面MAB的法向量，解得答案。

试题解析：

证明：(I)连结AC．因为为在中，

，，

所以，所以．

因为AB//CD，所以．

又因为地面ABCD，所以．因为，

所以平面PAC．

(II)如图建立空间直角坐标系，则．

因为M是棱PD的中点，所以．

所以，． 设为平面MAB的法向量，

所以，即，令，则，

所以平面MAB的法向量．因为平面ABCD，

所以是平面ABC的一个法向量．

所以．因为二面角为锐二面角，

所以二面角的大小为．

(III)因为N是棱AB上一点，所以设，．

设直线CN与平面MAB所成角为，

因为平面MAB的法向量，

所以．

解得，即，，所以．