Question

8．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+5x+5}{{e}^{x}}$．
（1）求f（x）的极大值；
（2）求f（x）在区间（-∞，0]上的最小值；
（3）若x²+5x+5-ae^x≥0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可；
（2）根据函数的单调性，求出函数在闭区间的最小值即可；
（3）问题转化为$a≤\frac{{{x^2}+5x+5}}{e^x}=f（x）$，根据函数的单调性得到函数f（x）在区间（-∞，0]上有最小值-e³，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）${f^'}（x）=\frac{-x（x+3）}{e^x}$…（1分）
当x＜-3时，f′（x）＜0
当-3＜x＜0时，f′（x）＞0
当x＞0时，f′（x）＜0…（3分）
所以函数f（x）在（-∞，-3）上为单调递减函数
在（-3，0）上为单调递增函数
在（0，+∞）上为单调递减函数…（4分）
因此函数f（x）在x=0处有极大值f（0）=5     …（5分）
（2）由（1）得函数f（x）在（-∞，-3）上为单调递减函数，
在（-3，0）上为单调递增函数
所以函数f（x）在x=-3处有最小值f（-3）=-e³…（7分）
（3）$a≤\frac{{{x^2}+5x+5}}{e^x}=f（x）$…（9分）
由（2）得函数f（x）在区间（-∞，0]上有最小值-e³…（10分）
当x＞0时，f（x）＞0  …（11分）
所以函数f（x）在定义域中的最小值为-e³，所以a≤-e³
即a的取值范围为（-∞，-e³]…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．