Question

若Rt△ABC所在平面外一点P到△ABC的三个顶点距离相等.求证:过点P和△ABC斜边中点的直线必垂直于三角形所在的平面.

Answer 1

思路分析:如图2-3-7,Rt△ABC中,∠C=90°,D为斜边AB中点.

图2-3-7

在△PDA与△PDB中,PA=PB,PD=PD,AD=BD,这两个三角形全等.

所以∠PDA=∠PDB=90°,同时可有△PDA和△PDC全等,

所以∠PDC=∠PDA=90°,问题得证.

证明:∵PA=PB,PD=PD,AD=BD,

∴△PDA≌△PDB.

∴∠PDA=∠PDB.

又∠PDA+∠PDB=180°,

∴∠PDA=∠PDB=90°.

∴PD⊥AB.

同理△PDA≌△PDC.

∴∠PDC=∠PDA=90°.

∴PD⊥DC.

又DC与AB相交,

∴PD⊥平面ABC.