若Rt△ABC所在平面外一点P到△ABC的三个顶点距离相等．求证:过点P和△ABC斜边中点的直线必垂直于三角形所在的平面．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

若Rt△ABC所在平面外一点P到△ABC的三个顶点距离相等．求证：过点P和△ABC斜边中点的直线必垂直于三角形所在的平面．

答案：
解析：

　　证明：∵PA＝PB，PD＝PD，AD＝BD，

　　∴△PDA≌△PDB．

　　∴∠PDA＝∠PDB．

　　又∠PDA＋∠PDB＝180°，

　　∴∠PDA＝∠PDB＝90°．

　　∴PD⊥AB．

　　同理△PDA≌△PDC．

　　∴∠PDC＝∠PDA＝90°．

　　∴PD⊥DC．

　　又DC与AB相交，

　　∴PD⊥平面ABC．

　　思路分析：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB中点．

　　在△PDA与△PDB中，PA＝PB，PD＝PD，AD＝BD，这两个三角形全等．

　　所以∠PDA＝∠PDB＝90°，同时可有△PDA和△PDC全等，

　　所以∠PDC＝∠PDA＝90°，问题得证．

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